高数 18 讲题型

一轮最重要的是概念，每一个概念都应该被理解，并且一些结论必须要被手推过，才能确保建立做题的直觉。

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一轮

第一讲——函数极限与连续

题型1——求函数表达式、定义域、值域、最值、极值（点）

高价值 偏基础 偏困难

书本	题号
考研数学基础三十讲	例1.1、例 1.2、例 1.3、例 1.4、例 1.5、例 1.10、例 1.11、例 1.12、习题 1.6
1000 题	第一章第 2 题、第3题、第 4 题

这一类题属于非常基础，但是有的题目比较灵活，这一类题可以考察函数的基本概念，透过定义求定义域、值域，也可以考察抽象函数，还可以考察反函数、分段函数以及复合函数，还可以函数的性质以及研究导数性质的工具。

大部分题目都要积累基本的做题思想：

1. 遇见形如 $f(x+\frac{1}{x})$ 的题目，考虑凑出 $x+\frac{1}{x}$，这个变形的过程非常考验基本功，需要打牢基础，很有价值
2. 遇见形如 $f(x)+xf(\frac{1}{x})$ 的题目，考虑令 $x=\frac{1}{x}$ ，然后进行变形，再消去式子中的 $f(\frac{1}{x})$ 或者 $f(x)$，最后求解出 $f(x)$
3. 同理遇见形如 $f(x)+xf(-x)$ 的题目，考虑令 $x=-x$ 之后的计算同情况 2
4. 求反函数的基本办法就是反解，反解出目标式子，再交换 $x$ 和 $y$ ，但是注意，如果求出来的反函数，不是一个标准的单值函数，那就可以不用交换 $x$ 和 $y$
5. 但是并不是所有情况下都可以直接反解，例如求 $y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ，就很难直接反解，需要利用对数运算的性质，联立方程组，通过方程组反解，这类题目较难，需要更多积累
6. 复合函数也比较难，因为他已经不是单步就可以求出来函数的定义域、值域或者表达式，可能要多步计算
7. 分段函数一般不会单独考，可能结合反函数、复合函数等进行考察，会增加题目难度。
8. 隐函数难以参变分离，需要使用观察法或者画图法，但是一般不会直接考，可能会结合隐函数存在定理、隐函数求导考察
9. 遇到复杂的多项式，考虑对式子左右两边取 $ln$ ，例如：$y=x^6(x-1{)}^2$ 就可以取 $ln()$ 得到 $lny=6lnx+2ln(x-1)$，这样算是一种化简，然后可以对之后的式子进行处理

积累：

题目：求函数 $y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 及其定义域
解：由题可知 ：$-y=ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}})$
分母有理化得：$-y=ln(\frac{\sqrt{x^2+x}-x}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)})=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$
恒等变形得到：$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$ ，$e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x$
两式相减得到：$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
交换 $x$ 和 $y$ 得到：$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

题型2——函数的有界性证明

偏基础 偏容易

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.6、例 1.13
1000 题	第一章第 1 题

函数有界性证明就是经典的定义证明题，他就是考察：给定一个区间，函数 $y=f(x)$ 的图形能够被直线 $y=-M$ 和 $y=M$ 完全包起来（$|f(x)|\le M$），就说函数有界。关键是找到 $M$，这里可以使用基本不等式或者求导数，对目标函数 $f(x)$ 进行研究，找到 $M$，一般这种题，上来就对 $f(x)$ 取绝对值，这么做甚至可以避免正负号讨论，$f(x)$ 的形式一般都很好，容易想到基本不等式

题型3——函数单调性

偏基础 偏容易

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.7、例 1.13
1000 题	第一章第 1 题

单调性是函数最重要的一个性质，研究单调性的工具有很多，我们可以使用定义去研究：

• $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0$ 为单调递增
• $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$ 为单调递减
• $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\ge 0$ 为单调不减
• $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0$ 为单调不增

也可以用导函数去研究，这个过程中可能涉及到计算导函数的有界性，可能也会用到基本不等式等。还可以通过研究函数图像去研究函数的单调性，本身算一类基础的问题，容易出大题的第一问。

题型4——函数奇偶性证明

偏基础 偏困难

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.8、例 1.13
1000 题	第一章第 1 题

函数的奇偶性也是函数最重要的一个性质，证明题和选择题都有可能会考，选择题可能会让你快速判断一个函数是奇函数还是偶函数，也可能利用奇偶性，甚至配合周期性计算一个函数特定点的值。

函数奇偶性也是有结论的，列举出来：

• $f(x)-f(-x)$ 必定是奇函数
• $f(x)+f(-x)$ 必定是偶函数
• 任何一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和的形式，例如：$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=u(x)+v(x)$
• 对于复合函数的奇偶性判断：内偶则偶，内奇同外
• $f(x)$ 奇函数 => $f^{\prime }(x)$ 偶函数 => $f^{\prime \prime }(x)$ 奇函数 $...$ 每求导一次，奇偶性转换一次
• 积分也是同求导类似，每积分一次，奇偶性转换一次

题型 5——函数周期性

偏基础 偏困难

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.9、例 1.13
1000 题	第一章第 1 题

函数的周期性单独考察的话非常容易，但是如果是联合多个考点，例如抽象函数、反函数、导数、基本不等式等可能就会很难，一般作为大题里面的一个隐含条件，虽然基础，但是并不比其他三个性质容易，这里归为偏难就是以为他的出题灵活性

一个函数 $f(x+T)=f(x)$ 就说这个函数是一个以 $T$ 为周期的周期函数。**在此基础上，$f(ax+b)$ 的周期为 $\frac{T}{|a|}$ **

如果函数 $g(x)$ 是周期函数，则 $f(g(x))$ 也是周期函数

如果函数 $f(x)$ 是一个可导的周期函数，则 $f^{\prime }(x)$ 也是同样周期的函数

如果函数 $f(x)$ 是一个连续的周期函数，则它的积分也是同样周期的函数

题型 6——求函数极限

偏基础 偏困难 高价值 常考

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.14、例 1.15、例 1.16、例 1.17
1000 题	第一章第 1 题
函数极限是整个高等数学当中最重要的内容之一，在整个数一的题目中也占有相当大的比重，极限的考察不仅仅是计算的技巧，也会着重考察定义。

极限定义与性质的考察

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.14、例 1.15、例 1.16、例 1.17、例 1.18
1000 题	第一章第 1 题

例如，可能会考察$\epsilon$-$\delta$语言，利用定义求函数极限（包括左右极限），这里有一张表需要熟练记忆，通过这张表理解领域和超实数等概念，主要就是理解 要多小有多小 和 要多大有多大 的意思，这种表述避免了直接在数学上写出来极限符号，但是却表达了一致的意思：

也可能出一些特殊的题考察对于极限这一概念的理解，主要就是根据一些已知的条件和公式进行尝试，例如考研数学 30 讲中第一讲的例 1.14，有必要单独拿出来，说明极限考察的灵活：

题目：已知极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}$ 存在，且函数 $f(x)=\frac{x-sinx}{x}+x^2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-cosx}$ ，求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}$
解：由题意可得，等式两边同时除以$x^2$ 得到 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-sinx}{x^3}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-cosx}$
使用泰勒或者等价替换都可以得到 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\frac{1}{6}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\frac{1}{2}{x}^2}$
此时令 $t=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}$ ，得到原等式为 $t=\frac{1}{6}+2t$，解得 $t=-\frac{1}{6}$

极限的性质也是常考的，特别是极限的唯一性（$\underset{x\to x_0}{\lim }=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }=a$），很容易就考到了。此外还有局部有界性（如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则存在正常数$M$ 和 $\delta$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|\le M$，局部有界性就是成分体现了邻域的概念，他就是说虽然函数在某一点的函数值不一定等于在这一点的极限，但是这一点周围的函数一定是逼近函数极限的，而不是一定逼近函数值）和局部保号性（）也非常重要，并且容易出较难的大题，

函数极限的计算

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.20
1000 题	第一章第 1 题

极限计算的方法有很多，先是利用极限的定义，然后是洛必达和泰勒展开，还可以使用等价替换甚至夹逼准则

计算函数极限的时候，需要遵守这样的原则：先进行实数运算，再进行趋核运算，就是说，先进行变形，到最后再利用极限的四则运算等规则进行极限计算

当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 极限存在的时候，就有极限四则运算，极限的四则运算规则是：

设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$ 则有

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=AB$
3. $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$ ($B\ne 0$)

但是也有可能 $f(x)$ 和 $g(x)$ 恰有一个不存在极限（无穷大或者震荡或者左右极限不相等），则：

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm g(x)$ 不存在
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot g(x)$ 可能存在，也可能不存在
3. $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 可能存在，也可能不存在

如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都不存在极限，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm g(x)$ 、$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot g(x)$ 、$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 都不确定

极限的计算一共有七种未定式，它们分别是：

$\frac{\infty }{\infty }$ 、$\frac{0}{0}$、$\infty \cdot 0$、$\infty -\infty$、${\infty }^0$、$0^{\infty }$、$0^0$、$1^{\infty }$

计算时先判断未定式类型，再对式子进行化简，化简主要就是这几个方面：

• 提出极限不为 0 的因式
• 等价无穷小替换
• 恒等变形（例如遇到复杂的幂指函数写成 $e^{f(x)}$ 的形式，提公因式，拆项，分子分母有理化、分子分母同乘或同除，或者换元，换元很有用，有时候能避免正负号的讨论）

而七种未定式是有关系的：

1. 这里面 $\frac{\infty }{\infty }$ 和 $\frac{0}{0}$ 是我们最熟悉的两种，如果不是很复杂的话，甚至可以直接使用洛必达计算出来，于是基于这个，我们可以考虑将 $\infty \cdot 0$ 转换成 $\frac{\infty }{\infty }$ 或 $\frac{0}{0}$ ，就可以快速计算了
2. $\infty -\infty$ 这种形式的，如果有分母，就进行通分，转换为$\frac{\infty }{\infty }$ 或 $\frac{0}{0}$，如果没有分母，就提公因式，或者做倒代换，也是凑成$\frac{\infty }{\infty }$ 或 $\frac{0}{0}$ 的形式
3. 对于 ${\infty }^0$ 和 $0^{\infty }$，也是写成 $e^{f(x)}$ 的形式，然后就 $\lim f(x)$，最后再带回求 $\lim e^{f(x)}$，$f(x)$ 可能是前面的几种形式，所以可以用之前的办法解决
4. $1^{\infty }$ 应该考虑使用公式 $\underset{f(x)\to \infty ,g(x)\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{f(x)}{)}^{g(x)}=e$ ，凑出这种形式，求$\frac{1}{f(x)}\cdot g(x)=a$，最后的结果就是 $e^a$，或者用类似 3 的办法对式子进行很等变形，然后再处理

洛必达、泰勒展开或等价无穷小很重要，都是计算的工具，此外甚至有可能要用夹逼准则计算极限（后续补充）

积累：

1. 计算 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{\ln (1+x^2)}$
   解：这道题比较灵活，他不好做分子有理化，第一时间看到题目的时候可能会有点懵，但是实际上基本思路还是一样的
   首先判断这个式子的类型，可以明确知道，这是一个 $\frac{0}{0}$ 形的不定式
   这类不定式我们非常熟悉，但是这个式子本身却比较复杂，直接洛必达或者利用泰勒展开不是很方便，所以我们应该先对式子进行变形
   之前我们提到过，如果一个式子是一个比较复杂的多项式，就可以改写成 $e^{f(x)}$ 的形式，这个式子也是这样的思路
   做恒等变形得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{2}\ln (1+2x)}-e^{\frac{1}{3}\ln (1+3x)}}{\ln (1+x^2)}$
   继续变形得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{3}ln(1+3x)}[e^{\frac{1}{2}\ln (1+2x)-\frac{1}{3}\ln (1+3x)}-1]}{\ln (1+x^2)}$
   直接等价无穷小得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\ln (1+2x)-\frac{1}{3}\ln (1+3x)}{\ln (1+x^2)}$
   接下来可以选择用洛必达，首先应该判断是否满足洛必达的条件，如果满足，就可以计算，这里显然满足，洛必达得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+2x}-\frac{1}{1+3x}}{\frac{2x}{1+x^2}}$
   化简得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(1+x^2)}{(1+2x)(1+3x)\cdot 2x}=\frac{1}{2}$
   或者也可以这样做：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\ln (1+2x)-\frac{1}{3}\ln (1+3x)+x-x}{\ln (1+x^2)}$
   化简得到：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}[\ln (1+2x)-2x]-\frac{1}{3}[\ln (1+3x)-3x]}{\ln (1+x^2)}$
   这里可以泰勒或者等价无穷小：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=\frac{1}{2}$

无穷的比阶

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.19
1000 题	第一章第 1 题

需要理解无穷与无穷之间也有“阶”的差距，并不是完全相同的。

考的最多的是无穷小的比阶。

• 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，就说 $\lim \alpha (x)$ 是 $\lim \beta (x)$ 的高阶无穷小
• 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C$，就说 $\lim \alpha (x)$ 和 $\lim \beta (x)$ 是同阶无穷小
• 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，就说 $\lim \alpha (x)$ 和 $\lim \beta (x)$ 是等价无穷小
• 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$，就说 $\lim \alpha (x)$ 是 $\lim \beta (x)$ 的低阶无穷小

简单的话就是用洛必达，但是有时候可能给出的是抽象函数等无法直接计算的函数，最好考虑使用定义，也就是这 4 条进行判断，例如 1000 题的第一章第 9 题

题型7——函数间断点

偏基础 偏麻烦

书本	题号
考研数学基础 30 讲	例 1.37、例 1.38、习题 1.2、习题 1.3、习题 1.4、习题 1.5、习题 1.10
1000 题	第一章第 1 题

这一类题目没什么技巧，就是不停地讨论各个点是不是间断点，并讨论是第几类间断点，考的算不上少，但也算不上难，比较麻烦，需要心细

第二讲——数列极限

第三讲——一元函数微分学的概念

第四讲——一元函数微分学的计算