还是使用考研数学基础三十讲的章节结构和内容划分方式。
函数极限与连续
函数
- 高等数学的主要研究对象是什么？（函数）
- 高等数学这门学科是因为什么产生的？（因为引入了极限，我们可以对函数的性质进行更加细致地研究，特别是对于一些局部性质）
- 什么是函数？为什么要提出函数？（函数用了集合和映射进行定义，集合是因为什么提出来的？集合被提出是用于解决什么问题？那映射又是什么？映射用于描述什么？）
- 我们主要研究单值函数，为什么？为什么高等数学不要求研究多值函数？多值函数为什么看起来不满足函数的定义？（目前我认为是研究简单的东西，多值函数的研究方法其实在很多时候也和研究单值函数差不多，他可以看作是更广泛的情况，学好了单值函数后面可以推广的，我们所学的高等数学本身也并不是非常前沿的学科，没必要那么高要求。多值函数其实也许可以看作跟复杂的集合到集合的映射吧。）
反函数
- 反函数是什么？反函数的定义是什么？反函数为什么要交换 x 和 y？反函数和函数在几何上有什么性质？为什么会产生这样的性质？
- 从集合到集合的映射上来看，反函数的意义是什么？
复合函数
- 复合函数是什么？他的定义是什么？
- 复合函数描述了什么？它的意义是什么？（普通函数描述一个东西如何影响另一个东西，复合函数描述影响是如何一层一层传递下去的。其实链式法则更进一步，他告诉我们，变化率也会沿着传递下去）
隐函数
- 什么是隐函数？它和显函数函数有什么区别？
- 高等数学中我们如何看待和研究隐函数？
函数的四种性质
- 这四种性质分别是什么？
- 这四种性质都共同表达表达了函数的什么信息？为什么我们习惯于把这四种性质看作是基本性质，而连续性、可导性等性质不包含在这里？（四种性质主要还是刻画函数在大体上的几何形状，有界性用于刻画函数在整个定义域上大概处于什么样的范围内，这是一个最简单最快的定性，而且写起来也很简单：。单调性用于描述函数自变量和因变量的变化关系，实际上也是比较粗糙的，我们只能大致地看到递增和递减。奇偶性则是用于描述函数整体的对称关系的，比如奇函数是函数关于原点对称，偶函数是函数关于 y 轴对称。周期性用于描述函数自己在整个定义域上的变化规律，同样的一段是否会重复出现，本质上就是一种平移对称，其实和奇偶性有点像。至于连续性、可导性等性质主要还是用到了极限，再引入极限之前确实无法研究这些更加深入的性质。）
有界性
- 函数有界性的定义是什么？
- 谈论有界性之前有什么要求吗？（有界性也是要讲区间的，所以有界性是局部和全局之间的一种性质，很粗糙。）
单调性
- 函数单调性的定义是什么？
- 为什么我们单调性要分严格还是不严格呢？（我们不仅关心趋势，还要关心这样的趋势到底有多强。衍生问题就是 算是严格单调还是不严格单调呢？）
- 单调为什么要讨论区间？（实际上单调也算一种局部和全局之间的性质，我们说函数在一个区间上单调确实是在讲局部，但是在局部上来说依旧很粗糙。）
- 为什么严格单调的函数就可以有反函数？（实际上单调性也表达了一种映射关系，因此理解单调性的时候也要理解单调性在映射上的意义而不是只抓住几何意义，只是高等数学不是很作要求。）
奇偶性
- 函数奇偶性的定义是什么？
- 为什么谈论奇偶性的定义我们首先要求函数的定义域关于 O 点对称？（其实这里要求定义域关于原点对称就意味着奇偶性是一种非常标准的全局性质。）
- 为什么一个定义域关于原点对称的函数必然可以被写为一个奇函数和一个偶函数之和的形式，这又有什么意义？（似乎是一个很高深的问题，需要日后研究，一个函数能被写成奇函数和偶函数之和可以在积分里面用到，因为奇函数和偶函数都容易积分，所以我们有时候可以利用这个去化简积分）
- ”内偶则偶，内奇同外“表达了什么？为什么这个法则能成立？
- 为什么求导或者积分奇偶性会变换？
周期性
- 周期性的定义是什么？
- 讨论周期性的前提是什么？这意味着什么？（那么定义域必须满足：x\in D \implies x+nT\in D, n\in\mathbb Z，这也就是说一个周期可以无限向左平移也可以无限向右平移，那定义域左边必须要到负无穷去，右边必须到正无穷去，所以周期性也是一个非常标准的全局性质）
基本初等函数
- 基本初等函数有哪些？它们为什么被称为基本初等函数？
- 什么是初等函数？它们为什么被称作初等函数？
常数函数
- 很多问题其实都是研究常数函数的问题，比如研究方程的根（这里研究的最深入的就是二次函数的根了，于是还研究了二次函数根与系数的关系，研究了根的分布，韦达定理真的很重要）、研究有界性、研究函数的上下平移其实都是常数函数和其他函数关系的问题，因为常数函数非常稳定、非常简单，所以常函数我们经常用于辅助研究其他函数，另外常函数也是一种特别的映射关系：输入集合的所有元素直接映射到只有一个真子元素的集合上，这是一种最大程度上的压缩。
对数函数
- 对数函数除了常考他的单调性之类的基本性质以外还喜欢考他的运算规则：、、、、
- 对于 我们可以利用 来进行研究最值。
幂函数
- 幂函数非常常见，我们最主要的是了解他的单调性和奇偶性，结合单调性，我们可以研究复合函数的单调性，奇偶性也可以利用相关的结论去处理复杂的复合函数，因为如果只是考察幂函数的性质其实往往是不够的，因为他并不复杂，所以就会考察一些更加复合的东西。(比如如果 的最值不好研究，就直接研究 的最值就好了，还有 也可以用 研究最值，主要就是看单调性)
- 利用这个性质我们可以想到一些不等式，最主要的就是三角不等式（ 还有 ）
指数函数
三角函数与反三角函数
数列极限
一元函数微分学
十个定理
这里可以说是高等数学最难的部分，但是我觉得也是最有趣的部分。
费马定理
- 为什么费马定理其实只需要一个点满足在该点处可导且在该点处取得极值就可以直接得到 而不需要考虑区间？
泰勒公式
- 泰勒公式有两种形式，一种是带拉格朗日余项的形式，一种是带佩亚诺余子式的形式，它们的条件是什么？它们有什么区别？（注意，拉格朗日余项适用于在一个区间上，而佩亚诺余子式只适用于一个点及其邻域）
- 这道题能否用泰勒公式和拉格朗日中值定理这两种方式做出来？它们说明了什么？
- 为什么我们说证明 用罗尔中值定理比较合适，而证明 用泰勒公式比较合适？