长除法的使用

长除法是因式分解中的一种常见的计算方法，利用长除法可以将复杂的多项式分解开，但是我们并不知道何时使用长除法，这里提供一种非常适合使用长除法的情形，速度很快：

例：设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 所确定，找到 $y=y(x)$ 的驻点，并确定它是否为极值
解：这道题刚开始是常规的解法，首先一看这个题是隐函数求导，那我们先直接求一次导，得到 $6y^2{y}^{{}^{\prime }}-4y{y}^{{}^{\prime }}+2y+2x{y}^{{}^{\prime }}-2x=0$，因为要求驻点，我们直接令 $y^{{}^{\prime }}=0$ 即可，代入一阶导等式，得到 $y=x$，然后再直接把这个关系式代回原方程，假设驻点是 $x_0$，就有 $2x_0^3-x_0^2-1=0$，此时瞪眼法我们能很快找到一个解 $x_0 = 1$，但是如何确定这个方程的其他解呢？因为 $x_0 = 1$ 是方程的一个解，我们可以肯定，这个方程经过因式分解以后一定有一个因式 $(x_0 - 1)$，此时就可以使用长除法，把原式分解为 $(x_0 - 1)(2x_0^2 + x_0 + 1) = 0$，然后这个式子就好处理了，左边可以理解为一元一次方程，右边理解为一元二次方程，求一元二次方程的解，得到 $\Delta = -7 < 0$ 无解，所以方程总体只有一个解 $x_0 = 1$。此时 $y_0=x_0=1$,现在确定是否是极值，最简单最直接的思路是求二阶导数，直接求二阶导得到：$12y(y^{{}^{\prime }}{)}^2+6y^2{y}^{{}^{\prime \prime }}-4(y^{{}^{\prime }}{)}^2+4y{y}^{{}^{\prime \prime }}+4y^{{}^{\prime }}+2x{y}^{{}^{\prime \prime }}-2=0$，由于之前我们令 $y^{{}^{\prime }}=0$，所以方程可以写为 $6y^2{y}^{{}^{\prime \prime }}-4y{y}^{{}^{\prime \prime }}+2x{y}^{{}^{\prime \prime }}-2=0$，解得 $y^{{}^{\prime \prime }}=\frac{1}{2}>0$，说明是极大值点。